一阶自治微分方程的平衡点（临界点）一阶自治微分方程形如 ，其中 是 的某个函数。平衡点指的是方程的解不随时间变化的点，即当 时，，即 是方程的平衡解。
对于一阶自治微分方程，平衡点可以通过解方程 来求得。其物理意义是当系统处于平衡点附近时，系统不会发生变化，因为对于 的微小变化，其导数 很小，系统会趋向于回到平衡点。
需要注意的是，平衡点可能是稳定的或不稳定的，具体取决于 在平衡点处的导数的正负性。如果导数为负，则平衡点是稳定的，系统会回到平衡点；如果导数为正，则平衡点是不稳定的，系统会远离平衡点。如果导数为零，则需要考虑更高阶导数的符号来判断平衡点的稳定性。
分类一阶自治微分方程的平衡点可以分为三类：稳定平衡点、不稳定平衡点和半稳定平衡点。
稳定平衡点：如果 在平衡点 处的导数 为负，则平衡点是稳定的。这意味着当系统偏离平衡点 时，它会向平衡点 返回。稳定平衡点也称为吸引点。
不稳定平衡点：如果 在平衡点 处的导数 为正，则平衡点是不稳定的。这意味着当系统偏离平衡点 时，它会远离平衡点 。不稳定平衡点也称为排斥点。
半稳定平衡点：如果 在平衡点 处的导数 为零，但 ，则平衡点是半稳定的。这意味着当系统偏离平衡点 时，它会沿着某些方向向平衡点 返回，而沿着另一些方向则会远离平衡点 。半稳定平衡点也称为鞍点。
如何画一维相位图一维相位图是用来描述一阶自治微分方程的解的行为的图形。它将 轴上的每个点对应到 轴上的一个箭头，箭头的方向表示 的正负性，箭头的长度表示 的绝对值大小。根据箭头的方向和长度，我们可以直观地了解方程解的行为。
以下是画一维相位图的步骤：
找到方程的平衡点。通过解方程 ，可以得到方程的平衡点。
计算平衡点处的导数 ，判断平衡点的稳定性。
在 轴上画出平衡点。如果平衡点是稳定的，则在平衡点上画一个实心圆；如果平衡点是不稳定的，则在平衡点上画一个空心圆。
在平衡点的两边选择一些点，并计算它们的 。根据 的正负性，在 轴上画出相应的箭头。
将相邻的箭头连接起来，形成一条连续的箭头曲线。箭头曲线的方向和长度表示方程解的行为。
可以在相图中添加一些关键信息，如解的方向、解的渐进线等。
需要注意的是，一维相位图只适用于一阶自治微分方程，对于高阶或非自治的微分方程，需要使用其他方法进行分析。
如何画微分方程的解曲线图画微分方程的解曲线图需要先求解微分方程，得到解析解或数值解。然后根据解析解或数值解，可以画出微分方程的解曲线图。
需要注意的是，对于某些微分方程，可能存在多个解，或者解的行为难以预测。在这种情况下，需要使用其他方法进行分析，如相图或数值模拟等。